Teorema do Ponto Fixo de Banach – Ricardo L. Bertolucci F.

Consideremos um espaço métrico $(X,\,d)$ , completo, e seja $A \colon X \longrightarrow X$ uma aplicação.
Chamamos $A$ de contração quando existir $K \in [0,\,1)$ tal que $d(A(x),\,A(y)) \leqslant K\,d(x,\,y)$ , para quaisquer $x,\,y \in X$ . Observemos que contrações são Lipschitzianas e, portanto, contínuas no sentido clássico.
Desejamos investigar a existência de pontos fixos para $A$ , ou seja, a existência de algum $\xi$ para o qual $A(\xi) = \xi$ , e também indagar sobre questões de unicidade. Pois bem, o resultado que responde tais questionamentos é o que dá nome a postagem.
Creditado a Stefan Banach, o teorema estabelece que contrações admitem um, e apenas um, ponto fixo. Além disso, dado qualquer $x_0 \in X$ , o processo iterativo $x_n \doteq A(x_{n\,-\,1}),\,n \geqslant 1$ , converge para $\xi$ : $x_n \longrightarrow \xi$ , sendo $\xi$ o ponto fixo de interesse.
Provemos, então, o teorema, para que na próxima postagem possamos apresentar uma aplicação na resolução de um PVI.

Como na maioria das vezes, a unicidade é muito mais fácil de ser demonstrada, sendo, portanto, relegada para o final.
Sendo $A$ uma contração, sabemos que existe $K \in [0,\,1)$ para o qual $d(A(x),\,A(y)) \leqslant K\,d(x,\,y)$ . Sendo $x_0 \in X$ arbitrário, definamos a sequência $x_n \doteq A(x_{n\,-\,1})$ , $n \geqslant 1$ , de forma que é suficiente provarmos que $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy, já que $X$ é completo.
Observemos o seguinte:
$d(x_2,\,x_1) \leqslant K\,d(x_1,\,x_0)$ ,
$d(x_3,\,x_2) \leqslant K\,d(x_2,\,x_1) \leqslant K\,(K\,d(x_1,\,x_0)) = K^2\,(x_1,\,x_0)$ ,
$d(x_4,\,x_3) \leqslant K\,d(x_3,\,x_2) \leqslant K\,(K^2\,d(x_1,\,x_0)) = K^3\,d(x_1,\,x_0)$ ,
…
Em geral, verifica-se por indução que $d(x_{n\,+\,1},\,x_n) \leqslant K^n\,d(x_1,\,x_0)$ (I).
Agora, para $m,\,n \in \mathbb{N}$ , podemos reescrever a (I) acima, por intermédio da desigualdade triangular ( $d(x,\,y) \leqslant d(x,\,z) + d(z,\,y)$ , para quaisquer $x,\,y,\,z \in X$ ), como
$d(x_m,\,x_n) \leqslant d(x_m,\,x_{m\,-\,1}) + d(x_{m\,-\,1},\,x_{m\,-\,2}) + ... + d(x_{n\,+\,1},\,x_n)$
$\leqslant (K^{m\,-\,1} + K^{n\,-\,2} + ... + K^n)\,d(x_1,\,x_0)$
$= K^n\,(K^{m\,-\,n\,-\,1} + K^{m\,-\,n\,-\,2} + ... + 1)\,d(x_1,\,x_0)$
$= K^n\,(\sum\limits_{r\,=\,0}^{m\,-\,n\,-\,1} K^r)\,d(x_1,\,x_0)$ .
Agora, como $\sum\limits_{r\,=\,0}^{m\,-\,n\,-\,1} K^r \leqslant \sum\limits_{r\,=\,0}^{\infty} K^r$ , em virtude da convergência da série geométrica, $\sum\limits_{r\,=\,0}^{\infty} K^r = \frac{1}{1\,-\,K}$ , podemos escrever $d(x_m,\,x_n) \leqslant \frac{K^n}{1\,-\,K}\,d(x_1,\,x_0)\leqslant \frac{1}{1\,-\,K}\,d(x_1,\,x_0)$ , pois $K < 1$ .
Como $\frac{1}{1\,-\,K}$ torna-se arbitrariamente pequeno, dado $\varepsilon > 0$ qualquer, existe $N \in \mathbb{N}$ para o qual $d(x_m,\,x_n) < \varepsilon$ sempre que $m,\,n \geqslant N$ , o que verifica que $(x_n)$ é de Cauchy.
Enfim, pela completude de $X$ , colocamos $\xi \doteq \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_n \in X$ , de forma que, pela continuidade de $A$ ,
temos $\xi = \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_n = \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} A(x_{n\,-\,1}) = A( \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_{n\,-\,1}) = A(\xi)$ .
Fica, dessa forma, demonstrada a existência de um ponto fixo $\xi$ para $A$ .

Para a unicidade, suponha que $\xi'$ é outro ponto fixo de $A$ , de forma que $d(A(\xi),\,A(\xi')) \leqslant K\,d(\xi,\,\xi')$ nos dá $d(\xi,\,\xi') \leqslant K\,d(\xi,\,\xi')$ , i.e., $(1 - K)\,d(\xi,\,\xi') \leqslant 0$ , o que resulta em $d(\xi,\,\xi') = 0$ pois $1 - K > 0$ , e segue o resultado. □

Para aplicações do teorema, podem ser úteis os livros
Fundamentos de Análise Funcional, dos autores Botelho, Pellegrino e Teixeira,
Introdução à Análise Funcional, de César R. de Oliveira, bem como
Postmodern Analysis, de Jost, e Aplicações da Topologia à Análise,
de Chaim S. Honig.