Equações Diferenciais – Ricardo L. Bertolucci F.

No post anterior, foi demonstrado o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante a existência e unicidade de pontos fixos para contrações em espaços métricos completos. Agora, façamos uso desse resultado para demonstrarmos o célebre Teorema de Picard-Lindelöf (ou Cauchy-Picard), que estabelece a existência e unicidade para Problemas de Valor Inicial:

(Picard – Lindelöf) Fixemos qualquer norma $\| \cdot\|$ em $\mathbb{R}^n$ , e sejam $\varepsilon > 0$ , $n \in \mathbb{N}$ , $r > 0$ e $(t_0,\,x_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ .
Seja $f \colon [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \times B[x_0,\,r] \longrightarrow \mathbb{R}^n$ , em que $B[x_0,\,r]$ denota a bola fechada de centro $x_0$ e raio $r$ , lipschitziana na seguna variável, ou seja, $\| f(t,\,x_1) - f(t,\,x_2)\| \leqslant L\,\| x_2 - x_1\|$ , para algum $L > 0$ e para todos $x_1,\,x_2 \in B[x_0,\,r]$ e $t \in [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon]$ . Dessa forma, o PVI

$\begin{cases} x'(t) = f(t,\,x(t)) \\ x(t_0) = x_0\end{cases}$

admite uma única solução $x \colon [t_0 - \varepsilon',\,t_0 + \varepsilon'] \longrightarrow B[x_0,\,r]$ , para algum $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon$ .

Demonstração: Sendo $f$ contínua, sabemos que ela é limitada.
Definamos, então, $K \doteq \sup\left\lbrace \| f(s,\,x)\| \colon (t,\,x) \in [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \times B[x_0,\,r]\right\rbrace$ , e coloquemos $\varepsilon' \doteq \min \left\lbrace \varepsilon,\,\frac{r}{K},\,\frac{1}{2L} \right\rbrace$ , o que ficará claro logo mais.
Consideremos o conjunto $Q$ das funções contínuas do tipo $y \colon [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \longrightarrow B[x_0,\,r]$ , na métrica
$d(y_1,\,y_2) = \| y_1 - y_2 \|_\infty = \sup\limits_{t_0\,-\,\varepsilon'\,\leqslant\,s\,\leqslant\, t_0\,+\,\varepsilon' } \| y_1(s) - y_2(s)\|$ .
Utilizaremos o resultado de que um subconjunto fechado de um espaço métrico completo também é completo no que segue, de forma que $(Q,\,d)$ é completo. Seja, então, o operador

$\mathcal{L} \colon Q \longrightarrow Q \\ \mathcal{L}(y)(t) \doteq x_0 + \displaystyle\int\limits_{t_0}^t f(s,\,y(s)) \, \mathrm{d}s$ .

Sabemos, do Teorema Fundamental do Cálculo, que $\mathcal{L}(y)$ é uma aplicação uniformemente contínua, para todo $y \in Q$ . Com isso, para $t \in [t_0 - \varepsilon',\,t_0 + \varepsilon']$ , temos
$\lVert\mathcal{L}(y)(t) - x_0\rVert = \lVert \displaystyle\int\limits_{t_0}^t f(s,\,y(s)) \, \mathrm{d}s \rVert \leqslant \displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert f(s,\,y(s))\rVert \, \mathrm{d}s \leqslant K \displaystyle\int\limits_{t_0}^t\, \mathrm{d}s$
$\leqslant K\,\lvert t - t_0\rvert \leqslant K\,\varepsilon' \leqslant r$ , o que verifica que $\mathcal{L}(y)(t) \in Q$ .

Agora, para verificarmos que $\mathcal{L}$ é contração, temos, para $y_1,\,y_2 \in Q$ , que
$d( \mathcal{L}(y_1) ,\, \mathcal{L}(y_2)) = \lVert\mathcal{L}(y_1)(t)\, - \,\mathcal{L}(y_2)(t)\rVert_{\infty} = \lVert \displaystyle\int\limits_{t_0}^t (f(s,\,y_1(s)) \,-\, f(s,\,y_2(s))\, \mathrm{d}s \,\rVert _{\infty}$
$\leqslant \displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert f(s,\,y_1(s)) - f(s,\,y_2(s)) \rVert _{\infty} \,\mathrm{d}s \leqslant L\displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert y_1(s) - y_2(s) \rVert _{\infty} \,\mathrm{d}s$
$\leqslant L\,d(y_1,\,y_2)\,\lvert t - t_0 \rvert \leqslant L\,\varepsilon'\,d(y_1,\,y_2) \leqslant L\,\frac{1}{2L}\,d(y_1,\,y_2) = \frac{d(y_1,\,y_2)}{2}$ .
Dessa forma, cumpre-se que $d( \mathcal{L}(y_1) ,\, \mathcal{L}(y_2)) \leqslant 1/2 \, d(y_1,\,y_2)$ e $\mathcal{L}$ é contração.

Enfim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, $\mathcal{L}$ admite um único ponto fixo $x \in Q$ para o qual $x(t_0) = x_0$ , como queríamos. □

Referências:
Fundamentos de Análise Funcional, de Botelho, Pellegrino e Teixeira,
Equações Diferenciais Ordinárias, de Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes,
e Espaços Métricos, de Elon Lages Lima.