Análise Matemática – Ricardo L. Bertolucci F.

O Teorema de Picard-Lindelöf

No post anterior, foi demonstrado o Teorema do Ponto Fixo de Banach, que garante a existência e unicidade de pontos fixos para contrações em espaços métricos completos. Agora, façamos uso desse resultado para demonstrarmos o célebre Teorema de Picard-Lindelöf (ou Cauchy-Picard), que estabelece a existência e unicidade para Problemas de Valor Inicial:

(Picard – Lindelöf) Fixemos qualquer norma $\| \cdot\|$ em $\mathbb{R}^n$ , e sejam $\varepsilon > 0$ , $n \in \mathbb{N}$ , $r > 0$ e $(t_0,\,x_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ .
Seja $f \colon [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \times B[x_0,\,r] \longrightarrow \mathbb{R}^n$ , em que $B[x_0,\,r]$ denota a bola fechada de centro $x_0$ e raio $r$ , lipschitziana na seguna variável, ou seja, $\| f(t,\,x_1) - f(t,\,x_2)\| \leqslant L\,\| x_2 - x_1\|$ , para algum $L > 0$ e para todos $x_1,\,x_2 \in B[x_0,\,r]$ e $t \in [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon]$ . Dessa forma, o PVI

$\begin{cases} x'(t) = f(t,\,x(t)) \\ x(t_0) = x_0\end{cases}$

admite uma única solução $x \colon [t_0 - \varepsilon',\,t_0 + \varepsilon'] \longrightarrow B[x_0,\,r]$ , para algum $0 < \varepsilon \leqslant \varepsilon$ .

Demonstração: Sendo $f$ contínua, sabemos que ela é limitada.
Definamos, então, $K \doteq \sup\left\lbrace \| f(s,\,x)\| \colon (t,\,x) \in [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \times B[x_0,\,r]\right\rbrace$ , e coloquemos $\varepsilon' \doteq \min \left\lbrace \varepsilon,\,\frac{r}{K},\,\frac{1}{2L} \right\rbrace$ , o que ficará claro logo mais.
Consideremos o conjunto $Q$ das funções contínuas do tipo $y \colon [t_0 - \varepsilon,\,t_0 + \varepsilon] \longrightarrow B[x_0,\,r]$ , na métrica
$d(y_1,\,y_2) = \| y_1 - y_2 \|_\infty = \sup\limits_{t_0\,-\,\varepsilon'\,\leqslant\,s\,\leqslant\, t_0\,+\,\varepsilon' } \| y_1(s) - y_2(s)\|$ .
Utilizaremos o resultado de que um subconjunto fechado de um espaço métrico completo também é completo no que segue, de forma que $(Q,\,d)$ é completo. Seja, então, o operador

$\mathcal{L} \colon Q \longrightarrow Q \\ \mathcal{L}(y)(t) \doteq x_0 + \displaystyle\int\limits_{t_0}^t f(s,\,y(s)) \, \mathrm{d}s$ .

Sabemos, do Teorema Fundamental do Cálculo, que $\mathcal{L}(y)$ é uma aplicação uniformemente contínua, para todo $y \in Q$ . Com isso, para $t \in [t_0 - \varepsilon',\,t_0 + \varepsilon']$ , temos
$\lVert\mathcal{L}(y)(t) - x_0\rVert = \lVert \displaystyle\int\limits_{t_0}^t f(s,\,y(s)) \, \mathrm{d}s \rVert \leqslant \displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert f(s,\,y(s))\rVert \, \mathrm{d}s \leqslant K \displaystyle\int\limits_{t_0}^t\, \mathrm{d}s$
$\leqslant K\,\lvert t - t_0\rvert \leqslant K\,\varepsilon' \leqslant r$ , o que verifica que $\mathcal{L}(y)(t) \in Q$ .

Agora, para verificarmos que $\mathcal{L}$ é contração, temos, para $y_1,\,y_2 \in Q$ , que
$d( \mathcal{L}(y_1) ,\, \mathcal{L}(y_2)) = \lVert\mathcal{L}(y_1)(t)\, - \,\mathcal{L}(y_2)(t)\rVert_{\infty} = \lVert \displaystyle\int\limits_{t_0}^t (f(s,\,y_1(s)) \,-\, f(s,\,y_2(s))\, \mathrm{d}s \,\rVert _{\infty}$
$\leqslant \displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert f(s,\,y_1(s)) - f(s,\,y_2(s)) \rVert _{\infty} \,\mathrm{d}s \leqslant L\displaystyle\int\limits_{t_0}^t \lVert y_1(s) - y_2(s) \rVert _{\infty} \,\mathrm{d}s$
$\leqslant L\,d(y_1,\,y_2)\,\lvert t - t_0 \rvert \leqslant L\,\varepsilon'\,d(y_1,\,y_2) \leqslant L\,\frac{1}{2L}\,d(y_1,\,y_2) = \frac{d(y_1,\,y_2)}{2}$ .
Dessa forma, cumpre-se que $d( \mathcal{L}(y_1) ,\, \mathcal{L}(y_2)) \leqslant 1/2 \, d(y_1,\,y_2)$ e $\mathcal{L}$ é contração.

Enfim, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, $\mathcal{L}$ admite um único ponto fixo $x \in Q$ para o qual $x(t_0) = x_0$ , como queríamos. □

Referências:
Fundamentos de Análise Funcional, de Botelho, Pellegrino e Teixeira,
Equações Diferenciais Ordinárias, de Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes,
e Espaços Métricos, de Elon Lages Lima.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach

Consideremos um espaço métrico $(X,\,d)$ , completo, e seja $A \colon X \longrightarrow X$ uma aplicação.
Chamamos $A$ de contração quando existir $K \in [0,\,1)$ tal que $d(A(x),\,A(y)) \leqslant K\,d(x,\,y)$ , para quaisquer $x,\,y \in X$ . Observemos que contrações são Lipschitzianas e, portanto, contínuas no sentido clássico.
Desejamos investigar a existência de pontos fixos para $A$ , ou seja, a existência de algum $\xi$ para o qual $A(\xi) = \xi$ , e também indagar sobre questões de unicidade. Pois bem, o resultado que responde tais questionamentos é o que dá nome a postagem.
Creditado a Stefan Banach, o teorema estabelece que contrações admitem um, e apenas um, ponto fixo. Além disso, dado qualquer $x_0 \in X$ , o processo iterativo $x_n \doteq A(x_{n\,-\,1}),\,n \geqslant 1$ , converge para $\xi$ : $x_n \longrightarrow \xi$ , sendo $\xi$ o ponto fixo de interesse.
Provemos, então, o teorema, para que na próxima postagem possamos apresentar uma aplicação na resolução de um PVI.

Como na maioria das vezes, a unicidade é muito mais fácil de ser demonstrada, sendo, portanto, relegada para o final.
Sendo $A$ uma contração, sabemos que existe $K \in [0,\,1)$ para o qual $d(A(x),\,A(y)) \leqslant K\,d(x,\,y)$ . Sendo $x_0 \in X$ arbitrário, definamos a sequência $x_n \doteq A(x_{n\,-\,1})$ , $n \geqslant 1$ , de forma que é suficiente provarmos que $(x_n)$ é uma sequência de Cauchy, já que $X$ é completo.
Observemos o seguinte:
$d(x_2,\,x_1) \leqslant K\,d(x_1,\,x_0)$ ,
$d(x_3,\,x_2) \leqslant K\,d(x_2,\,x_1) \leqslant K\,(K\,d(x_1,\,x_0)) = K^2\,(x_1,\,x_0)$ ,
$d(x_4,\,x_3) \leqslant K\,d(x_3,\,x_2) \leqslant K\,(K^2\,d(x_1,\,x_0)) = K^3\,d(x_1,\,x_0)$ ,
…
Em geral, verifica-se por indução que $d(x_{n\,+\,1},\,x_n) \leqslant K^n\,d(x_1,\,x_0)$ (I).
Agora, para $m,\,n \in \mathbb{N}$ , podemos reescrever a (I) acima, por intermédio da desigualdade triangular ( $d(x,\,y) \leqslant d(x,\,z) + d(z,\,y)$ , para quaisquer $x,\,y,\,z \in X$ ), como
$d(x_m,\,x_n) \leqslant d(x_m,\,x_{m\,-\,1}) + d(x_{m\,-\,1},\,x_{m\,-\,2}) + ... + d(x_{n\,+\,1},\,x_n)$
$\leqslant (K^{m\,-\,1} + K^{n\,-\,2} + ... + K^n)\,d(x_1,\,x_0)$
$= K^n\,(K^{m\,-\,n\,-\,1} + K^{m\,-\,n\,-\,2} + ... + 1)\,d(x_1,\,x_0)$
$= K^n\,(\sum\limits_{r\,=\,0}^{m\,-\,n\,-\,1} K^r)\,d(x_1,\,x_0)$ .
Agora, como $\sum\limits_{r\,=\,0}^{m\,-\,n\,-\,1} K^r \leqslant \sum\limits_{r\,=\,0}^{\infty} K^r$ , em virtude da convergência da série geométrica, $\sum\limits_{r\,=\,0}^{\infty} K^r = \frac{1}{1\,-\,K}$ , podemos escrever $d(x_m,\,x_n) \leqslant \frac{K^n}{1\,-\,K}\,d(x_1,\,x_0)\leqslant \frac{1}{1\,-\,K}\,d(x_1,\,x_0)$ , pois $K < 1$ .
Como $\frac{1}{1\,-\,K}$ torna-se arbitrariamente pequeno, dado $\varepsilon > 0$ qualquer, existe $N \in \mathbb{N}$ para o qual $d(x_m,\,x_n) < \varepsilon$ sempre que $m,\,n \geqslant N$ , o que verifica que $(x_n)$ é de Cauchy.
Enfim, pela completude de $X$ , colocamos $\xi \doteq \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_n \in X$ , de forma que, pela continuidade de $A$ ,
temos $\xi = \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_n = \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} A(x_{n\,-\,1}) = A( \lim\limits_{n\,\longrightarrow\,\infty} x_{n\,-\,1}) = A(\xi)$ .
Fica, dessa forma, demonstrada a existência de um ponto fixo $\xi$ para $A$ .

Para a unicidade, suponha que $\xi'$ é outro ponto fixo de $A$ , de forma que $d(A(\xi),\,A(\xi')) \leqslant K\,d(\xi,\,\xi')$ nos dá $d(\xi,\,\xi') \leqslant K\,d(\xi,\,\xi')$ , i.e., $(1 - K)\,d(\xi,\,\xi') \leqslant 0$ , o que resulta em $d(\xi,\,\xi') = 0$ pois $1 - K > 0$ , e segue o resultado. □

Para aplicações do teorema, podem ser úteis os livros
Fundamentos de Análise Funcional, dos autores Botelho, Pellegrino e Teixeira,
Introdução à Análise Funcional, de César R. de Oliveira, bem como
Postmodern Analysis, de Jost, e Aplicações da Topologia à Análise,
de Chaim S. Honig.