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Matemática em Geral

O Primeiro Teorema do Isomorfismo para Módulos

Os Teoremas de Isomorfismo tratam-se de importantíssimos resultados acerca de morfismos sobre estruturas quociente, com inesgotáveis aplicações e consequências na matemática.
Na presente postagem, abordarei o mais importante (com efeito, os demais são consequências dele),
O Primeiro Teorema do Isomorfismo, no âmbito dos Módulos, para que possamos, de maneira natural, enunciar o resultado para Espaços Vetoriais.
Antes, é claro, precisamos realizar o trabalho sujo, não?
Vamos definir propriamente os conceitos de módulo sobre um anel, submódulo, módulo quociente e morfismos entre módulos (homomorfismos e isomorfismos).
Convém mencionar que anéis e módulos são, em geral, estruturas muito mais problemáticas do que corpos e espaços vetoriais. De fato, não exigimos que um anel seja comutativo e tampouco tenha uma unidade, ao passo que isso é translúcido para corpos.
De maneira análoga, é conhecido o resultado de que qualquer espaço vetorial admite uma base, ainda que possa ser impossível exibir explicitamente tal base (\mathbb{R} como espaço vetorial sobre \mathbb{Q}), consequência do Lema de Zorn. Todavia, algo assustador ocorre com os módulos: nem todos admitem base, no sentido usual da Álgebra Linear (bases de Hamel).
Embora tudo isso soe deveras desanimador, o que nos reconforta é que os teoremas de isomorfismo independem de bases. De fato, tais teoremas são válidos no sentido da Álgebra Universal, que dispensa quaisquer estruturas intrínsecas a alguma Álgebra em específico.
Voltemos ao assunto da postagem. Comecemos definindo o que vem a ser um módulo sobre um anel:

Definição (Módulo Sobre um Anel). Sejam M \neq \varnothing e R um anel.

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